芝諾悖論錯在哪裏？以劉翔和烏龜賽跑爲例解釋芝諾悖論

芝諾悖論錯在哪裏？以劉翔和烏龜賽跑爲例解釋芝諾悖論

芝諾,古希臘數學、哲學家。他是埃利亞學派的著名哲學家巴門尼德的學生和朋友。芝諾從“ 多”和運動的假設出發，一共推出了40個各不相同的悖論。現存的芝諾悖論至少有8個，其中關於運動的4個悖論最爲著名。

直到19 世紀中葉，人們普遍認爲芝諾悖論不過是一些詭辯。英國數學家羅素感慨的說：“在這個變化無常的世界上，死後得不到應有的評價的最典型例子莫過於埃利亞的芝諾了。他雖然發明了四個無限微妙無限深邃的悖論，後世的大批哲學家們卻宣稱他只不過是個聰明的騙子，而他的悖論只不過是一些詭辯。”

芝諾在哲學上被亞里士多德譽爲辯證法的發明人。黑格爾在他的《哲學史講演錄》中指出：“芝諾主要是客觀地辯證地考察了運動”，並稱芝諾是“辯證法的創始人”。

以劉翔爲例，烏龜在他前面100米跑，他在後面追，但他不可能追上烏龜。在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發點，當劉翔追到100米時，烏龜已經又向前爬了10米，於是，一個新的起點產生了；劉翔必須繼續追，而當他追到烏龜爬的這10米時，烏龜又已經向前爬了1米……只要烏龜還在爬，劉翔永遠也追不上烏龜！

“烏龜” 動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。由於追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離。因此被追者總是在追趕者前面。”我們當然知道劉翔能夠捉住海龜，跑步者肯定也能跑到終點。

類似劉翔追上烏龜之類的追趕問題，我們可以用無窮數列的求和，或者簡單建立起一個方程組就能算出所需要的時間，那麼既然我們都算出了追趕所花的時間，我們還有什麼理由說劉翔永遠也追不上烏龜呢？

問題出在這裏：我們在這裏有一個假定，那就是假定劉翔最終是追上了烏龜，才求出的那個時間。但是芝諾的悖論的實質在於要求我們證明爲何能追上。而無窮個步驟是難以完成。

悖論本身的邏輯並沒有錯，它之所以與實際相差甚遠，在於這個芝諾與我們採取了不同的時間系統。人們習慣於將運動看做時間的連續函數，而芝諾的解釋則採取了離散的時間系統。即無論將時間間隔取得再小，整個時間軸仍是由無限的時間點組成的。

《莊子·天下篇》中也提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”

飛矢不動：一根箭是不可能移動的，因爲箭在其飛行過程中的任何瞬間都有固定位置，則可知一枝動的箭是所有不動的集合，所以可導出一根箭是不可能移動的。中國古代的名家惠施也提出過，“飛鳥之景，未嘗動也”的類似說法。

“飛矢不動”中的“矢”指的是弓箭中的箭。正常的射箭，只要箭離了弦，就能飛出去。但是，芝諾說，射出去的箭是不動的，因此是不能夠到達另一個位置的。截取“飛矢”的每一個瞬間，它在空中都是“靜止”的。既然每一個瞬間都是靜止的，所有的瞬間加起來也應該是靜止的，所以，“飛矢”是“不動”的。

“飛矢不動”這個悖論最關鍵的地方，是所謂“瞬間”。理論上的物理學“瞬間”意思是時間長短爲零。而在實際中，時間長短永遠不可能爲零。

簡單來說，“芝諾悖論”的錯誤就在於，他將無窮小徹底等同於零。無窮小等於零之後，再怎麼相加、累積，最終的結果當然都是零，所以得出推論“飛矢”是“不動”的。但是，真正的概念是無窮小隻是趨近於零，無窮個“趨近於零”的無窮小相加、累積之後，就會有一個確切的值。

以現實的態度理解“瞬間”這個概念就行。假設芝諾所說的“瞬間”可以用照相機拍下來，只要曝光及快門速度正確，每一張照片裏，飛行的箭似乎“確實”是“不動”的。但是，這正是造成我們錯覺的所在。不管照相機多麼先進，不管高速攝影快門速度多塊，現實之中，它永遠不可能是零。

“芝諾悖論”之所以被稱之爲“悖論”，他自己也被後世稱爲“詭辯論者”，是因爲他的悖論完全違反常理，但是，人們又不知道如何才能反駁他。

在微積分中有一個重要的概念叫做“無窮小”，數學符號寫作“dx”。把無窮小的概念與零混淆，是初學者最容易犯的錯誤之一，雖然無窮小與零無限接近，但若把兩者等同起來，得到的結果將是天差地別，比如出現飛矢“動”與“不動”的矛盾。

數學中無窮小（量）的概念已經解決了芝諾悖論問題。無窮小的定義涉及極限的定義，下面寫出幾個相關的定義，數學恐懼症可忽略下文^_^